Зуны бага сорилго №2.1
І сорил: 2025 оны 8 сарын 1
Энэ сорилгыг AIME II 2000 тэмцээний бодлогуудыг ашиглан зохиосон болно.
Бодох хугацаа 3 цаг.
Бүх хариу нь 0-ээс 999 хүртэлх бүхэл тоо байна.
Бодлого бүр 1 оноотой.
Бодлого 1
\[ \frac{2}{\log_4{2000^6}} + \frac{3}{\log_5{2000^6}} \] Энэ илэрхийллийг \(m\) ба \(n\) нь харилцан анхны эерэг бүхэл тоонууд байх \(\frac{m}{n}\) хэлбэрт бичиж болно. Тэгвэл \(m + n\)-ийн утгыг ол.
Бодлого 2
\(x\), \(y\) координат нь хоёулаа бүхэл тоо байх цэгийг торон цэг гэнэ. Дараах гипербол дээр хэдэн торон цэг байрлах вэ? \[ x^2 - y^2 = 2000^2 \]
Бодлого 3
Дөчин ширхэг карт бүхий багцад дөрвөн \(1\), дөрвөн \(2\), …, дөрвөн \(10\) гэсэн картууд байв. Эдгээрээс ижил тоотой хоёр картыг (нэг хосыг) авч хаяжээ. Үлдсэн картуудаас санамсаргүй сонгогдсон хоёр карт хос байх магадлалыг \(m/n\) гэе. Энд \(m\) ба \(n\) нь харилцан анхны эерэг бүхэл тоонууд бол \(m + n\)-ийн утгыг ол.
Бодлого 4
Зургаан ширхэг эерэг сондгой хуваагч болон арван хоёр эерэг тэгш хуваагчтай хамгийн бага эерэг бүхэл тоог ол.
Бодлого 5
Ялгаатай найман бөгж өгөгдсөн байв. Эдгээрээс таван бөгжийг нэг гарын дөрвөн хуруунд (эрхий хурууг оруулахгүй) зүүж болох бүх боломжит хувилбарын тоог \(n\) гэе. Хуруу болгонд бөгж зүүх шаардлагагүй. Нэг хуруунд зүүсэн бөгжний дараалал хамаатай бол \(n\)-ийн тэгээс ялгаатай эхний гурван цифрийг ол.
Бодлого 6
Трапецын нэг суурь нөгөө сууринаасаа \(100\) нэгжээр урт. Хажуу талуудын дунджийг холбосон хэрчим нь трапецыг хоёр хэсэгт хуваах ба эдгээр хэсгүүдийн талбайн харьцаа \(2 : 3\) байв. Трапецыг хоёр тэнцүү талбайтай хэсэгт хуваадаг мөн сууриудтай параллель байх хажуу талуудыг холбосон хэрчмийн уртыг \(x\) гэе. Тэгвэл \(x^2/100\)-аас хэтэрдэггүй хамгийн их бүхэл тоог ол.
Бодлого 7
Доорх тэгшитгэлийг авч үзье: \[ \frac{1}{2!17!} + \frac{1}{3!16!} + \frac{1}{4!15!} + \frac{1}{5!14!} + \frac{1}{6!13!} + \frac{1}{7!12!} + \frac{1}{8!11!} + \frac{1}{9!10!} = \frac{N}{1!18!} \] \(N/100\)-аас бага хамгийн их бүхэл тоог ол.
Бодлого 8
\(ABCD\) трапецын хажуу тал \(\overline{BC}\) нь \(\overline{AB}\) ба \(\overline{CD}\) сууриудад перпендикуляр бөгөөд диагональ \(\overline{AC}\) ба \(\overline{BD}\) нь мөн перпендикуляр байв. Хэрвээ \(AB = \sqrt{11}\), \(AD = \sqrt{1001}\) бол \(BC^2\)-г ол.
Бодлого 9
\(z\) нь комплекс тоо ба дараах тэгшитгэлийг хангана гэж үзье: \[ z + \frac{1}{z} = 2 \cos 3^\circ. \] Тэгвэл \(z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}}\)-ээс их хамгийн бага бүхэл тоог ол.
Бодлого 10
\(ABCD\) дөрвөн өнцөгтөд тойрог багтсан ба энэ тойрог \(\overline{AB}\)-г \(P\) цэгт, \(\overline{CD}\)-г \(Q\) цэгт шүргэнэ. Хэрвээ \(AP = 19\), \(PB = 26\), \(CQ = 37\), \(QD = 23\) бол багтсан тойргийн радиусын квадратыг ол.
Бодлого 11
Адил хажуут трапец \(ABCD\)-ийн оройнуудын координатууд бүгд бүхэл тоо бөгөөд \[A=(20,100), \quad D=(21,107).\] Трапецын аль ч тал нь \(x, y\) тэнхлэгүүдтэй параллель биш ба зөвхөн \(\overline{AB}\) болон \(\overline{CD}\) талууд хоорондоо параллель байв. \(\overline{AB}\) талын бүх боломжит налалтын коэффициентуудын нийлбэрийг \(\frac{m}{n}\) гэж үзвэл \(m + n\)-ийг ол. Энд \(m\) ба \(n\) нь харилцан анхны эерэг бүхэл тоонууд.
Бодлого 12
\(A\), \(B\), \(C\) цэгүүд нь төв нь \(O\), радиус нь \(20\) нэгжтэй байх бөмбөрцгийн гадаргуу дээр оршино. \(AB = 13\), \(BC = 14\), \(CA = 15\) гэж өгөгдсөн ба гурвалжин \(ABC\)-ээс бөмбөрцгийн төв \(O\) хүртэлх зай нь \[ \frac{m\sqrt{n}}{k} \] байв. Энд \(m\), \(n\), \(k\) нь эерэг бүхэл тоонууд бөгөөд \(m\) ба \(k\) нь харилцан анхны, мөн \(n\) нь ямар ч анхны тооны квадратад хуваагддаггүй. \(m + n + k\)-ийн утгыг ол.
Бодлого 13
Доорх тэгшитгэл яг хоёр бодит шийдтэй: \[ 2000x^6 + 100x^5 + 10x^3 + x - 2 = 0. \] Эдгээр шийдүүдийн нэг нь \(\frac{m + \sqrt{n}}{r}\) хэлбэртэй. Энд \(m\), \(n\), \(r\) нь бүхэл тоонууд бөгөөд \(m\) ба \(r\) нь харилцан анхны, мөн \(r > 0\) гэж өгөгджээ. \(m + n + r\)-ийн утгыг ол.
Бодлого 14
Ямар ч эерэг бүхэл тоо \(k\) нь цор ганц факториал суурьт илэрхийлэлтэй \((f_1, f_2, f_3, \ldots, f_m)\) байдаг. Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: \[ k = 1! \cdot f_1 + 2! \cdot f_2 + 3! \cdot f_3 + \cdots + m! \cdot f_m, \] энд \(f_i\) нь бүхэл тоо бөгөөд \(0 \le f_i \le i\), мөн \(f_m > 0\) байна. Дараах илэрхийллийн факториал суурьт илэрхийллийг \((f_1, f_2, f_3, \ldots, f_j)\) гэж үзье: \[ 16! - 32! + 48! - 64! + \cdots + 1968! - 1984! + 2000! \] Тэгвэл \(f_1 - f_2 + f_3 - f_4 + \cdots + (-1)^{j+1} f_j\)-ийн утгыг ол.
Бодлого 15
Дараах тэнцэтгэлийг хангах хамгийн бага эерэг бүхэл тоо \(n\)-ийг ол: \[ \frac{1}{\sin 45^\circ \sin 46^\circ} + \frac{1}{\sin 47^\circ \sin 48^\circ} + \cdots + \frac{1}{\sin 133^\circ \sin 134^\circ} = \frac{1}{\sin n^\circ}. \]