Янз бүр (5/26)

Бодлогууд

Бодлого 1 (Konhauser 2013)

Бүхэл тоонуудын хоосон биш \(S\) олонлогийг авч үзье. Хэрвээ ямар ч бүхэл \(n\) тооны хувьд дараах гурван тооны аль нэг нь \(S\)-д багтдаг бол бүгд \(S\)-д багтдаг:

  • \(n\)
  • \(2n + 9\)
  • \(2n + 25\)

Тэгвэл \(S\) нь бүх бүхэл тоонуудын олонлог мөн үү?

Бодлого 2 (Konhauser 2013)

Тэгш өнцөгт координатын хавтгайд өгөгдсөн \(A = (4, 0), B = (0, 3), C = (0, 0)\) цэгүүдийг холбосон \(\triangle ABC\)-г авч үзье. \(P,Q\) цэгүүд нь \(\triangle ABC\)-ний тал дээр оршдог ба \(PQ\) шулуун уг гурвалжны талбай болон периметрийг хагасаар нь хуваадаг. Тийм \(P,Q\) цэгүүдийн бүх боломжит хосыг ол.

Бодлого 3 (Konhauser 2013)

\(a_0\) нь эерэг рациональ тоо. Бүх бүхэл тоо \(n \geq 0\)-ийн хувьд, \(k_n\) нь \(a_n - \frac{1}{k_n} > 0\) байх хамгийн бага эерэг бүхэл тоо байг. Хэрэв \(a_{n+1} = a_n - \frac{1}{k_n}\) бол хязгааргүй олон \(n\)-ийн хувьд \(\frac{1}{a_n}\) тоо бүхэл байж чадах уу?

Бодлого 4 (Konhauser 2024)

Тэгш өнцөгтийг хоёр шулуун шугамаар дөрвөн хэсэгт доор үзүүлсэнчлэн хуваав. Зураг дээрх тоонууд нь тухайн хэсгүүдийн талбай бол дөрөв дэх хэсгийн талбайг ол.

Бодлого 5 (Konhauser 2023)

\(n\) нь эерэг бүхэл тоо. Хэрвээ \(1, 2, 3, \dots, n\) тоонуудыг ямар нэгэн дарааллаар дараах нөхцөлүүдийг хангасан байхаар жагсааж болдог бол \(n\)-ийг гоё тоо гэе:

  • Жагсаалтын эхний хоёр тооны дундаж бүхэл тоо
  • Жагсаалтын эхний гурван тооны дундаж бүхэл тоо
  • \(\dots\) гэх мэтчилэн
  • Жагсаалтын бүх \(n\) тооны дундаж бүхэл тоо байдаг.

Жишээ нь: \(n = 3\) нь гоё тоо юм. Хэрвээ \(1, 3, 2\) гэж жагсаавал:

  • Эхний хоёр тоо \(1\) ба \(3\)-ийн дундаж нь \(\frac{1+3}{2} = 2\) (бүхэл тоо)
  • Уг гурван тоо \(1, 3, 2\)-ийн дундаж нь \(\frac{1+3+2}{3} = 2\) (бүхэл тоо) болно.

Бүх гоё тоо \(n\)-ийг ол.

Бодолт

Бодлого 3

\(\frac{1}{a_n}\) нь бүхэл тоо болчихвол, дараагийн бүх \(m > n\) хувьд \(\frac{1}{a_m}\) нь мөн бүхэл тоо байх болно. Хэрэв \(a_0 > 1\) бол \(k_0 = 1\) бөгөөд \(a_1 = a_0 - 1\) болно. Үүнийг давтан \(a_n \leq 1\) хүртэл 1-ийг хасна. Иймд \(0 < a_0 \leq 1\) гэж үзэж болно.

Хэрвээ \(\frac{1}{a_0}\) нь бүхэл тоо \(m\) бол \(k_0 = m+1\): \[ a_1 = \frac{1}{m} - \frac{1}{m+1} = \frac{1}{m(m+1)} \] Энэ нь дахин бүхэл тооны урвуу хэлбэр тул бүх \(a_n\) нь бүхэл тоонуудын урвуу хэвээр байна.

Харин хэрвээ \(\frac{1}{a_0}\) нь бүхэл тоо биш байвал \(a_0\)-г \(c_0/d_0\) гэж бичье. Энд \(1 < c_0 < d_0\) болон \(\gcd(c_0, d_0) = 1\). \(d_0 = qc_0 + r\) гэж үзье (\(0 < r < c_0\)). Тэгвэл:

\[ \frac{1}{q+1} < a_0 < \frac{1}{q} \Rightarrow k_0 = q + 1 \]

Тэгээд: \[ a_1 = a_0 - \frac{1}{q + 1} = \frac{c_0}{d_0} - \frac{1}{q+1} = \frac{c_0(q+1) - d_0}{d_0(q+1)} = \frac{c_0 - r}{d_0(q+1)} \]

Энд \(a_1\)-ийн хүртвэр \(a_0\)-ийн хүртвэрээс буурсан байна. Иймээс хэдэн алхмын дараа хүртвэр нь 1-д хүрч, \(a_n = \frac{1}{m}\) хэлбэрт очно.