Өнцөг хөөлт (5/27)

Бодлогууд

Бодлого 1 (IMO Shortlist 2010/G1)

Хурц өнцөгт \(\triangle ABC\)-гийн хувьд, өндрийн cууриуд болох \(D\), \(E\), \(F\) цэгүүд нь харгалзан \(BC\), \(CA\), \(AB\) тал дээр оршино. \(EF\) шулуун нь гурвалжны багтаасан тойрогтой хоёр цэгт огтлолцоно, тэдгээрийн нэгийг \(P\) гэе. \(BP\) ба \(DF\) шулуунууд огтлолцох цэгийг \(Q\) гэе. Тэгвэл \(AP = AQ\) гэж батал.

Бодлого 2

\(ABCDE\) нь \(BCDE\) нь \(O\) төвтэй квадрат байх гүдгэр тав өнцөгт байг. Хэрвээ \(\angle A = 90^\circ\) бол \(AO\) нь \(\angle BAE\) өнцгийг хоёр тэнцүү хуваахыг батал.

Бодлого 3 (BAMO 1999/2)

\(O = (0, 0)\), \(A = (0, a)\), \(B = (0, b)\) гэж авъя, энд \(0 < a < b\) нь бодит тоонууд. \(\overline{AB}\) диаметртэй \(\Omega\) тойргийг зуръя. \(P\) нь \(\Omega\) тойрог дээрх дурын цэг байг. \(PA\) шулуун \(x\)-тэнхлэгийг \(Q\) цэг дээр дахин огтолж байна. Тэгвэл \(\angle BQP = \angle BOP\) болохыг батал.

Бодлого 4

Тойрогт багтсан \(ABCD\)-ийн хувьд, \(I_1\), \(I_2\)-г \(\triangle ABC\) болон \(\triangle DBC\) гурвалжнуудад багтсан тойргийн төвүүд гэе. Тэгвэл \(I_1I_2BC\) дөрвөн өнцөгт нь мөн тойрогт багтахыг батал.

Бодлого 5 (CGMO 2012/5)

\(\triangle ABC\) гурвалжин байг. Энэ гурвалжинд багтсан тойрог нь \(AB\) болон \(AC\) талуудыг тус тус \(D\), \(E\) цэгүүдэд шүргэнэ. \(\triangle BCI\) гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг \(O\) гэе. Тэгвэл \(\angle ODB = \angle OEC\) болохыг батал.

Бодлого 6 (Canada 1991/3)

\(\Omega\) тойргийн дотор орших \(P\) цэгийг авъя. \(P\) цэгийг дайрсан \(\Omega\) тойргийн бүх хөвчийг авч үзье. Эдгээр хөвчийн дундаж цэгүүд бүгд нэг тойрог дээр оршихыг батал.

Бодлого 7 (Russian Olympiad 1996)

\(ABCD\) нь гүдгэр дөрвөн өнцөгт байг. \(E\), \(F\) цэгүүд нь \(BC\) тал дээр байрлах ба \(E\) нь \(B\)-д ойрхон оршдог. Дараах зүйлс өгөгджээ: \(\angle BAE = \angle CDF\) болон \(\angle EAF = \angle FDE\). Тэгвэл \(\angle FAC = \angle EDB\) болохыг батал.

Бодлого 8 (Lemma)

Хурц өнцөгт гурвалжин \(ABC\)-г \(\omega\) тойрогт багтаан зуръя. \(X\)-г \(BC\) нумын (\(A\)-г агуулаагүй хэсгийн) дундаж цэг гэе. Үүнтэй адил \(Y\)-г \(CA\) нумын (\(B\)-г агуулаагүй), \(Z\)-г \(AB\) нумын (\(C\)-г агуулаагүй) дундаж цэгүүд гэж тодорхойлъё. Тэгвэл \(XYZ\) гурвалжны ортотөвийг нь \(ABC\) гурвалжны багтсан тойргийн төв \(I\) болохыг батал.

Бодлого 9 (JMO 2011/5)

\(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) цэгүүд нь \(\omega\) тойрог дээр оршиж, \(P\) цэг нь тойргийн гадна байрлана. Дараах нөхцлүүд өгөгдсөн:
- \(PB\), \(PD\) шулуунууд нь \(\omega\) тойргийг шүргэнэ,
- \(P\), \(A\), \(C\) цэгүүд нэг шулуун дээр оршино,
- \(DE \parallel AC\).
Тэгвэл \(BE\) шулуун нь \(AC\) хэрчмийг хоёр тэнцүү хуваахыг батал.

Бодлого 10 (Lemma - Three Tangents)

\(\triangle ABC\) нь хурц өнцөгт гурвалжин байг. \(BE\), \(CF\) нь \(\triangle ABC\)-ийн өндрүүд бөгөөд \(M\) нь \(BC\) талын дундаж цэг байг. Тэгвэл \(ME\), \(MF\) шулуунууд болон \(A\) цэгийг дайрсан \(BC\)-тэй параллель шулуун нь бүгд \((AEF)\) тойрогт шүргэгч болохыг батал.

Бодлого 11 (Lemma - Right Angles on Incircle Chord)

\(\triangle ABC\) гурвалжинд багтсан тойрог нь \(BC\), \(CA\), \(AB\) талуудыг тус тус \(D\), \(E\), \(F\) цэгүүдэд шүргэнэ. \(M\), \(N\) цэгүүдийг \(BC\), \(AC\) хэрчмүүдийн дундаж цэгүүд гэе. \(BI\) цацраг нь \(EF\) шулуунтай \(K\) цэг дээр огтлолцож байна.
- \(BK \perp CK\) болохыг батал.
- Дараа нь \(K\) цэг нь \(MN\) шулуун дээр оршихыг батал.

Бодлого 12 (Canada 1997/4)

\(O\) цэг нь параллелограмм \(ABCD\)-ийн дотор байрлана. Хэрэв \(\angle AOB + \angle COD = 180^\circ\) бол \(\angle OBC = \angle ODC\) болохыг батал.

Бодлого 13 (IMO 2006/1)

\(\triangle ABC\) гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг \(I\) гэе. \(P\) нь гурвалжны дотор байрлах цэг бөгөөд
\[ \angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB \] гэж өгөгджээ. Тэгвэл \(AP \geq AI\) болохыг батал, мөн зөвхөн \(P = I\) үед л тэнцэлдээ хүрэхийг харуул.

Бодлого 14 (Lemma - Simson Line)

\(\triangle ABC\) гурвалжинг авч үзье. \(P\) нь \((ABC)\) тойргийн дурын цэг байг. \(P\) цэгээс \(BC\), \(CA\), \(AB\) шулуунууд руу буулгасан перпендикуляруудын сууриудыг \(X\), \(Y\), \(Z\) гэе. Тэгвэл \(X\), \(Y\), \(Z\) цэгүүд нь нэг шулуун дээр оршихыг батал. (Симсоны шулууны теорем)

Бодлого 15 (USAMO 2010/1)

\(AXYZB\) нь \(AB\) диаметртэй хагас тойрогт багтсан гүдгэр таван өнцөгт байг. \(O\)-г \(AB\) хэрчмийн дундаж цэг гэе. \(Y\) цэгээс \(AX\), \(BX\), \(AZ\), \(BZ\) шулуунууд руу буулгасан перпендикуляруудын сууриудыг харгалзан \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) гэе. Тэгвэл \(PQ\), \(RS\) шулуунуудын үүсгэх хурц өнцөг нь \(\angle XOZ\) өнцгийн талтай тэнцүү гэж батал.

Бодлого 16 (IMO 2013/4)

\(\triangle ABC\) нь хурц өнцөгт гурвалжин бөгөөд ортотөв нь \(H\) байг. \(W\) нь \(BC\) тал дээр \(B\) ба \(C\) хоёрын хооронд орших цэг. \(M\), \(N\) цэгүүд нь \(B\), \(C\)-с буулгасан өндрүүдийн сууриуд байг. \(\omega_1\) нь \(\triangle BWN\) гурвалжныг багтаасан тойрог, \(X\) нь \(WX\) нь \(\omega_1\)-ийн диаметр болохоор авсан цэг. Үүнтэй адил \(\omega_2\) нь \(\triangle CWM\) гурвалжныг багтаасан тойрог бөгөөд \(Y\) нь \(WY\) нь \(\omega_2\)-ийн диаметр байхаар авсан цэг. Тэгвэл \(X\), \(Y\), \(H\) цэгүүд нь нэг шулуун дээр оршихыг батал.

Бодлого 17 (IMO 1985/1)

Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт \(ABCD\) өгөгдөв. Өөр нэг тойргийн төв нь \(AB\) тал дээр байрлаж байв. Харин үлдсэн гурван тал болох \(AD\), \(DC\), \(CB\) нь уг тойрогт шүргэгч байна. Тэгвэл дараах тэнцэтгэлийг батал:
\[ AD + BC = AB. \]