Анхан шатны алгебрын бодлогууд №1 (8/06)
Бодлогууд
Бодлого 1 (Romania 1974)
\(a, b, c\) нь эерэг бодит тоонууд байг. Дараах тэгшитгэлийг \(x\)-ийн хувьд бод:
\[ \sqrt{(a+bx)} + \sqrt{(b+cx)} + \sqrt{(c+ax)} = \\ \sqrt{(b-ax)} + \sqrt{(c-bx)} + \sqrt{(a-cx)} \]
Бодлого 2
\(x_0 = 3, x_1 = 4\) ба \[x_{n + 1} = x_{n - 1}^2 - nx_n, \quad n \in \mathbb{N}\] бол \(\{x_n\}\) дарааллын ерөнхий гишүүний томьёог ол.
Бодлого 3 (AHSME 1999)
\(\{x_n\}\) нь дараах нөхцөлүүдийг хангах бүхэл тоон дараалал байг:
- \(i = 1, 2, \dots, n\)-ийн хувьд \(-1 \leq x_i \leq 2\)
- \(x_1 + x_2 + \dots + x_n = 19\)
- \(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 99\)
Тэгвэл дараах илэрхийллийн хамгийн их болон хамгийн бага утгуудыг ол:
\[x_1^3 + x_2^3 + \dots + x_n^3\]
Бодлого 4 (AIME 1997)
\(f\) функц нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно:
\[f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\] энд \(a, b, c, d\) нь тэг биш бодит тоонууд.
\(f(19) = 19, \quad f(97) = 97\) ба \(-\frac{d}{c}\)-ээс бусад бүх \(x\)-ийн хувьд \(f(f(x)) = x\) байв. Тэгвэл \(f\)-ийн утгын мужийг ол.
Бодлого 5
Бүх \(a \geq b > 0\)-ийн хувьд
\[ \frac{(a - b)^2}{8a} \leq \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \leq \frac{(a - b)^2}{8b} \] гэж батал.
Бодлого 6 (St. Petersburg 1989)
Хэд хэдэн (дор хаяж хоёр) тэг биш тоонууд самбарт бичигдсэн байв. Хэн нэгэн \(a, b\) гэсэн дурын хоёр тоог арилгаад оронд нь \(a + \frac{b}{2}, b - \frac{a}{2}\) гэсэн тоонуудыг бичиж болно. Тэгвэл хэдэн ч ийм үйлдлийн дараа анх байсан тоонуудтай адилхан тоонууд гаргаж авч чадахгүй гэж батал.
Бодлого 7 (AIME 1986)
Олон гишүүнт \[ 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + x^{16} - x^{17} \] нь дараах хэлбэрт бичигдэж болно:
\[ a_0 + a_1y + a_2y^2 + \dots + a_{16}y^{16} + a_{17}y^{17} \] энд \(y = x + 1\) ба \(a_i\)-ууд нь тогтмол. Тэгвэл \(a_2\)-г ол.
Бодлого 8
\(a,b,c\) нь ялгаатай тэг биш бодит тоонууд ба дараах нөхцөлийг хангана:
\[ a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a} \]
Тэгвэл \(|abc| = 1\) гэж батал.
Бодлого 9 (Putnam 1999)
Бүх \(x\)-ийн хувьд дараах нөхцөлийг хангах \(f(x), g(x), h(x)\) олон гишүүнтүүдийг ол, эсвэл олдохгүй гэж батал:
\[ |f(x)| - |g(x)| + h(x) = \begin{cases} -1 & x < -1 \\ 3x + 2 & -1 \leq x \leq 0 \\ -2x + 2 & x > 0 \end{cases} \]
Бодлого 10
Дараах нөхцөлийг хангах бүх \(x\) бодит тоонуудыг ол:
\[ \frac{8^x + 27^x}{12^x + 18^x} = \frac{7}{6} \]
Бодлого 11 (Romania 1990)
Бүх \(n\) эерэг бүхэл тоонуудын хувьд дараах нөхцөлийг хангах хамгийн бага эерэг бүхэл тоо \(m\)-ийг ол:
\[ \binom{2n}{n}^{\frac{1}{n}} < m \]