Зуны бага сорилго №2.2
ІІ сорил: 2025 оны 8 сарын 2
Бодох хугацаа 4 цаг 30 минут.
Бодлого бүр 7 оноотой.
Бодлого 1
Эерэг бүхэл тоонуудаас бүрдэх олонлогийн ямар нэг гурван ялгаатай элемент нь гурвалжны талуудын урт байх боломжтой бол уг олонлогийг гурвалжны шинжтэй гэж үзье. \(\{4, 5, 6, \ldots, n\}\) гэсэн дараалсан тоонуудын олонлогийн аль ч 10 элементтэй дэд олонлог нь гурвалжны шинжтэй байдаг хамгийн их \(n\)-ийг ол.
Бодлого 2
\(JHIZ\) нь тэгш өнцөгт байг. \(A\) ба \(C\) нь тус тус \(ZI\) ба \(ZJ\) тал дээр орших цэгүүд байг. \(A\) цэгээс \(CH\) шулуунд буулгасан перпендикуляр нь \(HI\) шулуунтай \(X\) цэгт огтлолцоно. \(C\) цэгээс \(AH\) шулуунд буулгасан перпендикуляр нь \(HJ\) шулуунтай \(Y\) цэгт огтлолцоно. Тэгвэл \(X\), \(Y\), \(Z\) цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.
Бодлого 3
Сүүлчийн гурван цифрийг нь арилгасан ч гэсэн төгс куб хэвээрээ үлдэх, \(10\)-д хуваагддаггүй бүх эерэг төгс куб тоонуудыг ол.
Бодлого 4
\(f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) функц нь бүх \(n\)-ийн хувьд дараах нөхцөлүүдийг хангана:
\[ f(n+1) > f(n) \]
\[ f(f(n)) = 3n \]
Тэгвэл \(f(2025)\)-ийн утгыг ол.