Анхан шатны алгебрын бодлогууд №2 (8/12)

Бодлогууд

Бодлого 1

\(a, b, c, d, e\) нь дараах нөхцөлийг хангах эерэг бүхэл тоонууд байг:

\[ abcde = a + b + c + d + e \]

Тэгвэл \(\max\{a,b,c,d,e\}\)-ийн хамгийн их боломжит утгыг ол.

Бодлого 2

Дараах илэрхийллийг тооцоол:

\[ \frac{3}{1! + 2! + 3!} + \frac{4}{2! + 3! + 4!} + \dots + \frac{2001}{1999! + 2000! + 2001!} \]

Бодлого 3

\(x = \sqrt{a^2+a+1} - \sqrt{a^2-a+1}, a \in \mathbb{R}\) байг. Тэгвэл \(x\)-ийн боломжит бүх утгыг ол.

Бодлого 4

Дараах нөхцөлийг хангах бүх бодит тоо \(x\)-ийг ол:

\[ 10^x + 11^x + 12^x = 13^x + 14^x \]

Бодлого 5 (Korean Mathematics Competition 2001)

\(f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) функцийн хувьд \(f(1, 1) = 2\) ба бүх \(m, n \in \mathbb{N}\)-ийн хувьд дараах нөхцөлүүдийг хангадаг байв:

\[ f(m+1, n) = f(m, n) + m \ \text{ба} \ f(m, n + 1) = f(m, n) - n \]

Тэгвэл \(f(p, q) = 2001\) байдаг бүх \((p, q)\) хосуудыг ол.

Бодлого 6 (China 1983)

\(f\) функц нь \([0, 1]\) завсарт бүх \(a \neq b\)-ийн хувьд дараах байдлаар тодорхойлогдоно:

\[ f(0) = f(1) = 1 \ \text{ба} \ |f(a) - f(b)| < |a - b| \]

Тэгвэл дараах тэнцэтгэл бишийг батал:

\[ |f(a) - f(b)| < \frac{1}{2} \]

Бодлого 7

Дараах нөхцөлийг хангах бүх \((x, y)\) бүхэл тоон хосуудыг ол:

\[ x^3 + y^3 = (x + y)^2 \]

Бодлого 8 (Korean Mathematics Competition 2001)

Бүх бодит тоо \(x\)-ийн хувьд

\[ f(x) = \frac{2}{4^x + 2} \]

байг. Тэгвэл дараах илэрхийллийг тооцоол:

\[ f(\frac{1}{2001}) + f(\frac{2}{2001}) + \dots + f(\frac{2000}{2001}) \]

Бодлого 9

Хэрвээ \(n \geq 6\) бол дараах тэгшитгэлийг бүхэл тоон шийдтэй гэж батал:

\[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \dots + \frac{1}{x_n^2} = 1 \]

Бодлого 10 (AIME 1988)

Дараах нөхцөлийг хангах бүх \((a, b)\) бүхэл тоон хосуудыг ол:

\[ ax^{17} + bx^{16} + 1 \] олон гишүүнт нь \(x^2 - x - 1\)-д хуваагддаг.